Инфимум и супремум

Инфимум

Определение:

**Инфимум** подмножества $B \subseteq A$ — это его наибольшая нижняя грань.

Супремум

Определение:

**Супремум** подмножества $B \subseteq A$ — это его наименьшая верхняя грань.

**

  1. Единственность**
    Если $\sup S$ или $\inf S$ существует, то он **единственен**.

**

  1. Связь с максимумом/минимумом**
  2. Если $\max S$ существует, то $\sup S = \max S$
  3. Если $\min S$ существует, то $\inf S = \min S$
  4. Обратное неверно: супремум может не принадлежать \(S\)

**

  1. Монотонность**
  2. Если $S \subseteq T$, то $\sup S \leq \sup T$ (если оба существуют)
  3. Если $S \subseteq T$, то $\inf S \geq \inf T$ (если оба существуют)

**

  1. Идемпотентность**
  2. $\sup\{x\} = x, \inf\{x\} = x$
  3. $\sup(S \cup \{\sup S\}) = \sup S$ (если $\sup S$ существует)